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“`markdown
MATLAB 奇异值分解 (SVD) 详细指南
奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 是线性代数中一个强大且应用广泛的矩阵分解方法。它能将任何一个矩阵分解为三个更简单的矩阵的乘积，揭示了矩阵内在的结构和信息。在信号处理、图像压缩、机器学习、统计分析等领域，SVD 都有着不可替代的作用。
本文将详细介绍 SVD 的数学原理、在 MATLAB 中的实现以及其主要应用。
1. SVD 的数学原理
对于任意一个 $m \times n$ 的实数矩阵 $A$，SVD 可以将其分解为以下形式：
$$A = U \Sigma V^T$$
其中：
* $U$ 是一个 $m \times m$ 的正交矩阵 (Orthogonal Matrix)，其列向量是 $A A^T$ 的特征向量，称为左奇异向量 (Left Singular Vectors)。
* $\Sigma$ 是一个 $m \times n$ 的对角矩阵 (Diagonal Matrix)，其对角线上的元素 $\sigma_i$ 称为奇异值 (Singular Values)。奇异值是非负的，并且通常按降序排列：$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_r > 0$，其中 $r$ 是矩阵 $A$ 的秩。对角线以外的元素均为零。
* $V^T$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵 $V$ 的转置，其列向量是 $A^T A$ 的特征向量，称为右奇异向量 (Right Singular Vectors)。$V$ 本身也是一个正交矩阵。
正交矩阵的定义是 $Q^T Q = Q Q^T = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。这意味着正交矩阵的逆就是它的转置。
1.1 奇异值与特征值
SVD 与特征值分解 (Eigenvalue Decomposition) 密切相关。
- 奇异值的平方是 $A^T A$ (或 $A A^T$) 的特征值。
- $U$ 的列向量是 $A A^T$ 的特征向量。
- $V$ 的列向量是 $A^T A$ 的特征向量。
这表明 SVD 提供了一种统一的方式来分解任何矩阵，而特征值分解只适用于方阵（通常是对称或 Hermite 矩阵）。
1.2 几何解释
从几何角度看，SVD 可以被解释为：任何线性变换（由矩阵 $A$ 表示）都可以被分解为三个基本几何操作的组合：
1. 一个旋转 (由 $V^T$ 表示)。
2. 一个缩放 (由 $\Sigma$ 表示)。
3. 另一个旋转 (由 $U$ 表示)。
2. 在 MATLAB 中进行 SVD
MATLAB 提供了一个非常直观的函数 svd() 来执行奇异值分解。
2.1 基本用法
“`matlab
% 创建一个示例矩阵 A
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]; % 4×3 矩阵
% 执行奇异值分解
[U, S, V] = svd(A);
% 显示结果
disp(‘矩阵 A:’);
disp(A);
disp(‘左奇异向量矩阵 U:’);
disp(U);
disp(‘奇异值矩阵 S:’);
disp(S);
disp(‘右奇异向量矩阵 V:’);
disp(V);
% 验证分解 A = U * S * V’
A_reconstructed = U * S * V’;
disp(‘重构后的矩阵 A (U * S * V”):’);
disp(A_reconstructed);
% 检查重构误差（由于浮点精度，可能存在微小差异）
disp(‘重构误差 (A – A_reconstructed):’);
disp(A – A_reconstructed);
“`
输出解释：
* U 是一个 $m \times m$ 的正交矩阵。
* S 是一个 $m \times n$ 的对角矩阵，其对角线元素是奇异值。
* V 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵。
2.2 紧凑型 SVD (Economy Size SVD)
当矩阵 $A$ 的行数 $m$ 和列数 $n$ 不相等时，例如 $m > n$，矩阵 $U$ 和 $\Sigma$ 会包含一些零填充或多余的行/列。为了节省计算和存储资源，MATLAB 提供了紧凑型 SVD。
“`matlab
% 创建一个示例矩阵 A
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]; % 4×3 矩阵
% 执行紧凑型 SVD
[U_eco, S_eco, V_eco] = svd(A, ‘econ’);
% 显示结果的大小
disp(‘紧凑型 U 的大小:’);
disp(size(U_eco)); % 应该为 m x min(m,n)
disp(‘紧凑型 S 的大小:’);
disp(size(S_eco)); % 应该为 min(m,n) x min(m,n)
disp(‘紧凑型 V 的大小:’);
disp(size(V_eco)); % 应该为 n x min(m,n)
% 验证分解 A = U_eco * S_eco * V_eco’
A_reconstructed_eco = U_eco * S_eco * V_eco’;
disp(‘重构后的矩阵 A (U_eco * S_eco * V_eco”):’);
disp(A_reconstructed_eco);
“`
在这种模式下：
* 如果 $m > n$，那么 U_eco 是 $m \times n$，S_eco 是 $n \times n$。
* 如果 $m < n$，那么 U_eco 是 $m \times m$，S_eco 是 $m \times m$。
* V_eco 总是 $n \times \min(m,n)$。
svd(A, 'econ') 确保 U_eco 的列数与 S_eco 的行数相同，V_eco 的列数与 S_eco 的列数相同，以便矩阵乘法兼容。
2.3 仅获取奇异值
如果你只需要奇异值，可以只使用一个输出参数：
“`matlab
% 创建一个示例矩阵 A
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % 3×3 矩阵
% 仅获取奇异值（返回一个列向量）
singular_values = svd(A);
disp(‘奇异值 (列向量):’);
disp(singular_values);
“`
3. SVD 的主要应用
SVD 因其能够揭示矩阵的内在结构，在许多领域都发挥着关键作用。
3.1 降维 (Dimensionality Reduction) – 主成分分析 (PCA)
SVD 是实现主成分分析 (PCA) 的基础。通过保留最大的几个奇异值及其对应的奇异向量，可以实现数据的降维，同时最大程度地保留数据中的方差信息。
“`matlab
% 示例：数据降维
data = randn(100, 10); % 100个样本，每个样本10个特征
% 对数据进行中心化（PCA的第一步）
mean_data = mean(data);
centered_data = data – mean_data;
% 执行 SVD
[U, S, V] = svd(centered_data);
% 提取奇异值
singular_values = diag(S);
% 选择保留的主成分数量（例如，保留前2个）
num_components = 2;
reduced_data = centered_data * V(:, 1:num_components);
disp(‘原始数据大小:’);
disp(size(data));
disp(‘降维后数据大小:’);
disp(size(reduced_data));
“`
这里的 V 矩阵的列向量就是主成分的方向。
3.2 图像压缩 (Image Compression)
图像可以用一个矩阵来表示，其中每个元素代表一个像素的颜色强度。通过对图像矩阵进行 SVD，并仅保留最大的少数奇异值及其对应的奇异向量，可以实现图像的近似重构，从而达到压缩的目的。
“`matlab
% 示例：图像压缩
% 假设你有一张灰度图像 ‘image.png’
% 如果没有，可以使用 MATLAB 内置的图像
try
img = imread(‘cameraman.tif’); % 读入灰度图像
catch
disp(‘cameraman.tif 不可用，请确保图像文件存在或使用自己的图像。’);
return;
end
% 将图像转换为双精度浮点数
img_double = double(img);
% 执行 SVD
[U, S, V] = svd(img_double);
% 选择保留的奇异值数量（秩-k近似）
k = 50; % 例如，保留前50个奇异值
% 重构图像
S_k = zeros(size(S));
S_k(1:k, 1:k) = S(1:k, 1:k); % 只保留前k个奇异值
img_compressed = U * S_k * V’;
% 显示原始图像和压缩图像
figure;
subplot(1, 2, 1);
imshow(uint8(img_double));
title(‘原始图像’);
subplot(1, 2, 2);
imshow(uint8(img_compressed));
title([‘SVD 压缩图像 (k = ‘, num2str(k), ‘)’]);
% 计算压缩比（粗略估计，实际压缩还涉及编码）
original_size = numel(img_double);
compressed_size = k * (size(U,1) + size(V,1) + 1); % 粗略估计 U(:,1:k), S(1:k,1:k), V(:,1:k) 的存储
fprintf(‘原始图像大小: %d 元素\n’, original_size);
fprintf(‘压缩图像近似大小: %d 元素\n’, compressed_size);
fprintf(‘压缩比: %.2f%%\n’, (1 – compressed_size/original_size) * 100);
“`
注意： 图像压缩的实际效果和压缩比取决于图像内容和所选的 $k$ 值。
3.3 求解线性方程组 (Least Squares Solution)
当线性方程组 $Ax = b$ 没有精确解（超定系统）时，SVD 可以用来找到最小二乘解，即找到使得 $||Ax – b||_2$ 最小的 $x$。
“`matlab
% 示例：求解最小二乘问题
A = [1 1; 2 1; 3 1]; % 3×2 矩阵
b = [3; 5; 8]; % 3×1 向量
% 使用 SVD 求解 x
[U, S, V] = svd(A);
% 计算 S 的伪逆
S_pseudo_inv = zeros(size(S’));
singular_values = diag(S);
tolerance = max(size(A)) * eps(max(singular_values)); % 容忍度
non_zero_indices = find(singular_values > tolerance);
S_pseudo_inv(non_zero_indices, non_zero_indices) = diag(1 ./ singular_values(non_zero_indices));
% 最小二乘解
x_svd = V * S_pseudo_inv * U’ * b;
disp(‘矩阵 A:’);
disp(A);
disp(‘向量 b:’);
disp(b);
disp(‘最小二乘解 x_svd:’);
disp(x_svd);
% 验证 MATLAB 内置的最小二乘解 (A\b)
x_matlab = A \ b;
disp(‘MATLAB 内置最小二乘解 (A\b):’);
disp(x_matlab);
% 检查结果是否接近
disp(‘x_svd 和 x_matlab 的差异:’);
disp(x_svd – x_matlab);
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3.4 矩阵的秩 (Rank of a Matrix)
矩阵的秩等于其非零奇异值的数量。这在数值计算中比检查行列式是否非零更稳定。
“`matlab
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % 秩为2的矩阵
singular_values = svd(A);
tolerance = max(size(A)) * eps(max(singular_values)); % 容忍度
matrix_rank = sum(singular_values > tolerance);
disp(‘奇异值:’);
disp(singular_values);
disp([‘矩阵 A 的秩 (通过 SVD 计算): ‘, num2str(matrix_rank)]);
% 与 MATLAB 内置的 rank 函数比较
disp([‘MATLAB 内置 rank 函数计算的秩: ‘, num2str(rank(A))]);
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3.5 噪声消除 (Noise Reduction)
在信号处理中，如果信号受到噪声污染，可以通过 SVD 分解，并丢弃对应较小奇异值的部分来去除噪声。因为通常较大的奇异值对应于主要信号成分，而较小的奇异值可能对应于噪声。
4. 总结
奇异值分解 (SVD) 是一个极其强大的工具，它能够对任何矩阵进行分解，并揭示其内在的结构信息。MATLAB 的 svd() 函数使其易于使用，从而在数据分析、机器学习、图像处理等众多科学和工程领域中发挥着核心作用。理解 SVD 的数学原理和在 MATLAB 中的实现，将极大地增强你处理和分析复杂数据的能力。无论是降维、图像压缩、求解最小二乘问题还是分析矩阵的性质，SVD 都是一个不可或缺的利器。
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