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MATLAB norm 函数：向量和矩阵范数计算指南
MATLAB 是一款强大的数值计算和数据可视化工具，广泛应用于工程、科学和金融领域。在其丰富的函数库中，norm 函数是一个核心工具，用于计算向量和矩阵的范数。范数是数学中衡量向量大小或矩阵“强度”的一种方式，它在机器学习、优化、信号处理和数值分析等多个领域都扮演着至关重要的角色。
本文将详细介绍 MATLAB norm 函数的用法，包括不同类型的向量范数和矩阵范数，并提供清晰的示例。
什么是范数？
在数学中，范数是一个函数，它为向量空间中的每个向量指定一个非负长度。简单来说，它衡量一个向量或矩阵的“大小”或“长度”。不同的范数类型会根据其定义方式，给出不同的“大小”度量。
norm 函数的基本语法
MATLAB norm 函数的基本语法如下：
n = norm(v): 计算向量v的 2-范数（欧几里得范数）或矩阵A的 2-范数（谱范数）。n = norm(v, p): 计算向量v的p-范数。n = norm(A, p): 计算矩阵A的p-范数。
接下来，我们将深入探讨向量和矩阵的不同范数类型。
向量范数 (Vector Norms)
对于向量 v，norm(v, p) 可以计算多种 p-范数。最常用的向量范数包括：
1. 2-范数 (欧几里得范数)
这是最常见的范数，也称为欧几里得长度。它表示向量在几何空间中的长度。
计算方式： norm(v) 或 norm(v, 2)
数学定义： ||v||₂ = √(Σ|vᵢ|²)
示例：
“`matlab
v = [3; -4; 0];
n2_norm = norm(v); % 默认计算2-范数
disp([‘向量的2-范数 (Euclidean norm): ‘, num2str(n2_norm)]);
n2_norm_explicit = norm(v, 2); % 显式指定p=2
disp([‘向量的2-范数 (explicit p=2): ‘, num2str(n2_norm_explicit)]);
输出：
向量的2-范数 (Euclidean norm): 5
向量的2-范数 (explicit p=2): 5
“`
2. 1-范数 (曼哈顿范数)
1-范数是向量所有元素的绝对值之和。
计算方式： norm(v, 1)
数学定义： ||v||₁ = Σ|vᵢ|
示例：
matlab
v = [3; -4; 0];
n1_norm = norm(v, 1);
disp(['向量的1-范数 (Manhattan norm): ', num2str(n1_norm)]);
输出：
向量的1-范数 (Manhattan norm): 7
3. 无穷范数 (Maximum Absolute Value Norm)
无穷范数是向量中元素绝对值的最大值。
计算方式： norm(v, inf)
数学定义： ||v||∞ = max(|vᵢ|)
示例：
matlab
v = [3; -4; 0];
ninf_norm = norm(v, inf);
disp(['向量的无穷范数 (Maximum Absolute Value norm): ', num2str(ninf_norm)]);
输出：
向量的无穷范数 (Maximum Absolute Value norm): 4
4. p-范数 (General p-norm)
对于任何 p ≥ 1，p-范数定义为向量元素绝对值的 p 次方之和的 1/p 次方。
计算方式： norm(v, p)
数学定义： ||v||ₚ = (Σ|vᵢ|ᵖ)¹ᐟᵖ
示例：
matlab
v = [1; 2; -3];
p = 3;
np_norm = norm(v, p);
disp(['向量的3-范数: ', num2str(np_norm)]);
输出：
向量的3-范数: 3.3019
矩阵范数 (Matrix Norms)
对于矩阵 A，norm(A, p) 可以计算多种矩阵范数。常用的矩阵范数包括：
1. 2-范数 (谱范数)
这是矩阵的最大奇异值，也是 norm(A) 的默认行为。它通常用于衡量矩阵对向量的“拉伸”程度。
计算方式： norm(A) 或 norm(A, 2)
数学定义： ||A||₂ = max(σᵢ) (其中 σᵢ 是矩阵 A 的奇异值)
示例：
“`matlab
A = [1 2; 3 4];
n2_norm_matrix = norm(A); % 默认计算2-范数 (谱范数)
disp([‘矩阵的2-范数 (Spectral norm): ‘, num2str(n2_norm_matrix)]);
n2_norm_matrix_explicit = norm(A, 2); % 显式指定p=2
disp([‘矩阵的2-范数 (explicit p=2): ‘, num2str(n2_norm_matrix_explicit)]);
输出：
矩阵的2-范数 (Spectral norm): 5.4649
矩阵的2-范数 (explicit p=2): 5.4649
“`
2. 1-范数 (列和最大值范数)
1-范数是矩阵所有列的绝对值之和中的最大值。
计算方式： norm(A, 1)
数学定义： ||A||₁ = maxⱼ(Σᵢ|aᵢⱼ|)
示例：
matlab
A = [1 -2; 3 4];
n1_norm_matrix = norm(A, 1);
disp(['矩阵的1-范数 (Maximum Column Sum norm): ', num2str(n1_norm_matrix)]);
输出：
矩阵的1-范数 (Maximum Column Sum norm): 6
(因为第一列绝对值和是 |1|+|3|=4，第二列绝对值和是 |-2|+|4|=6，最大值是 6)
3. 无穷范数 (行和最大值范数)
无穷范数是矩阵所有行的绝对值之和中的最大值。
计算方式： norm(A, inf)
数学定义： ||A||∞ = maxᵢ(Σⱼ|aᵢⱼ|)
示例：
matlab
A = [1 -2; 3 4];
ninf_norm_matrix = norm(A, inf);
disp(['矩阵的无穷范数 (Maximum Row Sum norm): ', num2str(ninf_norm_matrix)]);
输出：
矩阵的无穷范数 (Maximum Absolute Value norm): 7
(因为第一行绝对值和是 |1|+|-2|=3，第二行绝对值和是 |3|+|4|=7，最大值是 7)
4. Frobenius 范数
Frobenius 范数是矩阵所有元素的平方和的平方根，可以看作是将矩阵“展平”成一个长向量后的 2-范数。
计算方式： norm(A, 'fro')
数学定义： ||A||_F = √(Σᵢⱼ|aᵢⱼ|²)
示例：
matlab
A = [1 2; 3 4];
nfro_norm_matrix = norm(A, 'fro');
disp(['矩阵的Frobenius范数: ', num2str(nfro_norm_matrix)]);
输出：
矩阵的Frobenius范数: 5.4772
总结
MATLAB 的 norm 函数是计算向量和矩阵范数的强大而灵活的工具。通过了解不同的 p 值参数，您可以计算适用于各种数学和工程应用的特定范数。无论是衡量向量的欧几里得长度，还是评估矩阵的谱强度或 Frobenius 范数，norm 函数都能提供精确且高效的计算。熟练掌握 norm 函数的使用，将极大地增强您在 MATLAB 中进行数值分析和算法开发的效率。